题目内容
如图,△ABC内接于⊙O,OC和AB相交于点E,点D在OC的延长线上,且∠B=∠D=∠BAC=30°.
(1)试判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)AB=,求⊙O的半径.
(1)试判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)AB=,求⊙O的半径.
解:(1)直线AD与⊙O相切。理由如下:
如图,连接OA,
∵∠B=30°,∴∠AOC=2∠B=60°。
又∵∠D=30°,∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°。
∴OA⊥AD。
∵OA为半径,∴AD是⊙O的切线。
(2)∵OA=OC,∠AOC=60°,∴△ACO是等边三角形。
∴∠ACO=60°,AC=OA。∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°。∴OC⊥AB,
又∵OC是⊙O的半径,∴AE=AB=。
在Rt△ACE中,,∴⊙O的半径为6。
如图,连接OA,
∵∠B=30°,∴∠AOC=2∠B=60°。
又∵∠D=30°,∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°。
∴OA⊥AD。
∵OA为半径,∴AD是⊙O的切线。
(2)∵OA=OC,∠AOC=60°,∴△ACO是等边三角形。
∴∠ACO=60°,AC=OA。∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°。∴OC⊥AB,
又∵OC是⊙O的半径,∴AE=AB=。
在Rt△ACE中,,∴⊙O的半径为6。
试题分析:(1)连接OA,求出∠AOC=2∠B=60°,根据三角形内角和定理求出∠OAD,根据切线判定推出即可。
(2)求出∠AEC=90°,根据垂径定理求出AE,根据锐角三角函数的定义即可求出AC,根据等边三角形的性质推出即可。
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