Question

阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2

2

=（1+

2

）²．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b

2

=（m+n

2

）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b

2

=m²+2n²+2mn

2

．
∴a=m²+2n²，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b

2

的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b

3

=(m+n

3

)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=

 

，b=

 

；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：

 

+

 

3

=（

 

+

 

3

）²；
（3）若a+4

3

=(m+n

3

)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？

Answer 1

分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．

解答：解：（1）∵a+b

3

=(m+n

3

)2，
∴a+b

3

=m²+3n²+2mn

3

，
∴a=m²+3n²，b=2mn．
故答案为m²+3n²，2mn．

（2）设m=1，n=1，
∴a=m²+3n²=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．

（3）由题意，得：
a=m²+3n²，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=2²+3×1²=7，或a=1²+3×2²=13．

点评：本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．