题目内容
【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于C(0,3),直线y=+m经过点C,与抛物线的另一交点为点D,点P是直线CD上方抛物线上的一个动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线解析式并求出点D的坐标;
(2)连接PD,△CDP的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当△CPE是等腰三角形时,请直接写出m的值.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3,D点坐标为();(2)当m=时,△CDP的面积存在最大值,最大值为;(3)m的值为 或 或.
【解析】
(1)利用待定系数法求抛物线解析式和直线CD的解析式,然后解方程组得D点坐标;
(2)设P(m,-m2+2m+3),则E(m,-m+3),则PE=-m2+m,利用三角形面积公式得到S△PCD=××(-m2+m)=-m2+m,然后利用二次函数的性质解决问题;
(3)讨论:当PC=PE时,m2+(-m2+2m+3-3)2=(-m2+m)2;当CP=CE时,m2+(-m2+2m+3-3)2=m2+(-m+3-3)2;当EC=EP时,m2+(-m+3-3)2=(-m2+m)2,然后分别解方程即可得到满足条件的m的值.
(1)把A(﹣1,0),C(0,3)分别代入y=﹣x2+bx+c得,解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
把C(0,3)代入y=﹣x+n,解得n=3,
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3,
解方程组,解得
或,
∴D点坐标为(,);
(2)存在.
设P(m,﹣m2+2m+3),则E(m,﹣m+3),
∴PE=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+m,
∴S△PCD=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣)2+,
当m=时,△CDP的面积存在最大值,最大值为;
(3)当PC=PE时,m2+(﹣m2+2m+3﹣3)2=(﹣m2+m)2,解得m=0(舍去)或m=;
当CP=CE时,m2+(﹣m2+2m+3﹣3)2=m2+(﹣m+3﹣3)2,解得m=0(舍去)或m=(舍去)或m=;
当EC=EP时,m2+(﹣m+﹣3)2=(﹣m2+m)2,解得m=(舍去)或m=,
综上所述,m的值为或或.
【题目】高尔夫运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h(m)与它的飞行时间(s)满足二次函数关系,t与h的几组对应值如下表所示:
t(s) | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | … |
h(m) | 0 | 8.75 | 15 | 18.75 | 20 | … |
(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围);
(2)求小球飞行3s时的高度.