题目内容

【题目】【问题提出】已知∠AOB=70°,∠AOD=∠AOC,∠BOD=3∠BOC(∠BOC<45°),求∠BOC的度数.

【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决.

(1)当射线OC在∠AOB的内部时,①若射线OD在∠AOC内部,如图1,可求∠BOC的度数,解答过程如下:

设∠BOC=α,∴∠BOD=3∠BOC=3α,∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α,∴∠AOD=∠AOC,

∴∠AOD=∠COD=2α,∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°,∴α=14°,∴∠BOC=14°

问:当射线OC在∠AOB的内部时,②若射线OD在∠AOB外部,如图2,请你求出∠BOC的度数;

【问题延伸】(2)当射线OC在∠AOB的外部时,请你画出图形,并求∠BOC的度数.

【问题解决】综上所述:∠BOC的度数分别是   

【答案】1②∠BOC=30°;(2作图见解析BOC的度数分别是14°30°10°42°

【解析】试题分析: 1②由已知条件得出∠CODAODAOB与∠BOC的关系,求出∠BOC的度数;

2)分类讨论,根据∠AODBODAOB与∠BOC的关系,得出∠BOC的度数.

试题解析:

1②设∠BOC=α,则∠BOD=3α,若射线OD在∠AOB外部,如图2

COD=BOD﹣BOC=2α

∵∠AOD=AOC

∴∠AOD=COD=

∴∠AOB=BODAOD=3α= =70°

α=30°∴∠BOC=30°

2)当射线OC在∠AOB外部时,根据题意,此时射线OC靠近射线OB

∵∠BOC45°AOD=AOC

∴射线OD的位置也只有两种可能;

①若射线OD在∠AOB内部,如图3所示,

则∠COD=BOC+COD=4α

∴∠AOB=BOD+AOD=3α+4α=7α=70°

α=10°

∴∠BOC=10°

②若射线OD在∠AOB外部,如图4

则∠COD=BOC+BOD=4α

∵∠AOD=AOC

∴∠AOD=COD=α

∴∠AOB=BODAOD=3αα=α=70°

α=42°

∴∠BOC=42°

综上所述:∠BOC的度数分别是14°30°10°42°

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