Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．

（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AG∥DC，AD∥BC，

∴四边形AGCD是平行四边形，

∴AG=DC，

∵E、F分别为AG、DC的中点，

∴GE= AG，DF= DC，

即GE=DF，GE∥DF，

∴四边形DEGF是平行四边形；

（2）

证明：连结DG，

∵四边形AGCD是平行四边形，

∴AD=CG，

∵G为BC中点，

∴BG=CG=AD，

∵AD∥BG，

∴四边形ABGD是平行四边形，

∴AB∥DG，

∵∠B=90°，

∴∠DGC=∠B=90°，

∵F为CD中点，

∴GF=DF=CF，

即GF=DF，

∵四边形DEGF是平行四边形，

∴四边形DEGF是菱形．

【解析】（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的判定和菱形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．