Question

【题目】在中，以为斜边，作直角，使点落在内，．

（1）如图1，若，，，点，、分别为，的中点，连接，求线段的长；

（2）如图2，若，把绕点递时针旋转一定角度，得到，连接并延长变于点，求证：；

（3）如图3，若，过点的直线交于点，交于点，，且，请直接写出线段、、之间的关系（不需要证明）．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析，（3）

【解析】

（1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，得到利用三角形中位线的性质即可得到答案；

（2）先利用互余判断出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ全等，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可得到答案；

（3）连接AF，利用线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，判断出∠AFB=90°，利用勾股定理即可得到答案．

解：（1）∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，，

∴cos∠BAD，

∴AC=AB=12，

∵点P、M分别为BC、AB边的中点，

∴PM=AC=6，

（2）如图2，

在ED上截取EQ=PD，

∵∠ADB=90°，

∴∠BDP+∠ADE=90°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，

∴∠AEC=∠ADB=90°

∵∠AED+∠PEC=90°，

∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，

，

∴△BDP≌△CEQ，

∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，

∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，

∠PQC=∠PEC+∠QCE，

∴∠EPC=∠PQC，

∴PC=CQ，

∴BP=CP

（3）

理由：如图3，

连接AF，

∵EF⊥AC，且AE=EC，

∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

∵EF⊥AC，且AE=EC，

∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，

∵AD=BD，

∴BD=DC，

∴∠DBC=∠DCB，

∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，

∴∠DAF=∠DCB，

∴∠DAF=∠DBC，

∴∠AFB=∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，DA=DB，

∴

在Rt△ABF中，

∵FA=FC

∴