题目内容
【题目】如图,一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标;
(3)若点P在y轴上,是否存在点P,使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)(﹣2,0)或(8,0);(3)存在,P(0,1)或 P(0,﹣1)
【解析】
(1)将点A坐标代入两个解析式可求a的值,k的值,即可求解;
(2)设P(x,0),由三角形的面积公式可求解;
(3)分两种情况讨论,由两点距离公式分别求出AP,AB,BP的长,由勾股定理可求解.
(1)把点A(1,a)代入y=﹣x+3,得a=2,
∴A(1,2),
把A(1,2)代入反比例函数y=,
∴k=1×2=2;
∴反比例函数的表达式为;
(2)∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C,
∴C(3,0),
设P(x,0),
∴PC=|3﹣x|,
∴S△APC=|3﹣x|×2=5,
∴x=﹣2或x=8,
∴P的坐标为(﹣2,0)或(8,0);
(3)存在,
理由如下:联立,
解得:或,
∴B点坐标为(2,1),
∵点P在y轴上,
∴设P(0,m),
∴AB=,AP=,PB=,
若BP为斜边,
∴BP2=AB2+AP2 ,
即 =2+,
解得:m=1,
∴P(0,1);
若AP为斜边,
∴AP2=PB2+AB2 ,
即 =+2,
解得:m=﹣1,
∴P(0,﹣1);
综上所述:P(0,1)或 P(0,﹣1).
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