Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是

AB

上一点，且

BG

=

1

3

AB

，连接AG交PD于F，连接BF，若PD=6

3

，tan∠BFE=3

3

．
求：（1）∠C的度数；
（2）△AEF和△ABG的面积；
（3）QH的长．

Answer 1

分析：（1）连接OP，求出∠OPC=90°，∠BAF=30°，设EF=x，则AE=

3

，BE=3

3

x，AB=4

3

x，OB=2

3

x，OE=

3

x，根据cos∠POA=

OE

OP

=

1

2

，求出∠POA=60°即可；
（2）由垂径定理得出PE=

1

2

PD=3

3

，在△CPE中，由勾股定理求出x=

3

，求出AE=

3

x=3，EF=

3

，根据三角形的面积公式求出即可；根据AB=4

3

x=12，求出∠BAG=30°，推出BG=6，由勾股定理求出AG=6

3

，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）由勾股定理求出CP=6

3

，由切割线定理得出PC²=AC×BC，求出AC=6，BC=18，根据∠C=30°，∠Q=90°求出BQ=

1

2

BC=9，由勾股定理求出CQ=9

3

，PQ=3

3

，由切割线定理得出PQ²=QH×BQ，代入求出即可．

解答：（1）解：连接OP，
∵CP切⊙O于P，
∴∠OPC=90°，
∵

BG

=

1

3

AB

，
∴∠BAF=30°，
设EF=x，则AE=

3

x，
∵tan∠BFE=3

3

，
∴BE=3

3

x，
AB=4

3

x，OB=2

3

x，OE=

3

x，
∴cos∠POA=

OE

OP

=

1

2

，
∴∠POA=60°，
∴∠C=90°-60°=30°；

（2）解：由垂径定理得：PE=

1

2

PD=3

3

，
∵在△OPE中，由勾股定理得：OP²=OE²+PE²，
∴(2

3

x)2=(

3

x)2+(3

3

)2，
x=

3

，
∴AE=

3

x=3，EF=

3

，
∴S_△AEF=

1

2

×AE×EF=

1

2

×3×

3

=

3 3

2

，
∵AB=4

3

x=12，
∴∠BAG=30°，
∴BG=6，
由勾股定理的：AG=6

3

，
∴S_△ABG=

1

2

×AG×BG=

1

2

×6

3

×6=18

3

；

（3）解：∵由（2）知：OE=

3

x=3，OP=2

3

x=6，AB=12，∠C=30°，
∴OC=12，
由勾股定理得：CP=6

3

，
∵CP是切线，CAB是割线，由切割线定理得：PC²=AC×BC，
∴(6

3

)2=AC×（AC+12），
AC=6，
∴BC=18，
∵∠C=30°，∠Q=90°，
∴BQ=

1

2

BC=9，
∴由勾股定理得：CQ=9

3

，
∴PQ=3

3

，
∵由切割线定理得：PQ²=QH×BQ，
(3

3

)2=9QH，
∴QH=3．
答：QH的长是3．

点评：本题考查了切线的性质，切割线定理，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．