Question

【题目】如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB=AD，连结BC、DC．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）延长AB、DC交于点E，若EC=5cm，BC=3cm，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC是圆O的直径，

∴∠ABC=∠D=90°，

在Rt△ABC与Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC

（2）由（1）知Rt△ABC≌Rt△ADC，

∴CD=BC=3，AD=AB，

∴DE=5+3=8，

∵∠EAD=∠ECB，∠D=∠EBC=90°，

∴△EAD∽△ECB，

∴ ，

∵BE= =4，

∴ ，

∴AD=6，

∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=2× ×3×6=18cm2

【解析】（1）由AC是圆O的直径，得到∠ABC=∠D=90°，根据直角三角形全等的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知Rt△ABC≌Rt△ADC，得到CD=BC=3，AD=AB，DE=5+3=8，通过△EAD∽△ECB，得到比例式 ，求得AD=6，即可得到结果．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．