题目内容
【题目】如图，四边形
为正方形，
为对角线
上的动点，过点作
，
交射线
于
，交射线
于
．
(1)求证；
；
(2)求证；
；
(3)若
，当
时，直接写出
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
或
【解析】
（1）连接EC，通过证明EG=EC，EF=EC，来证明EG=EF，进而转化为证明∠2=∠3，∠4=∠5即可；
（2）作EH⊥BC，易知EG=
BE，由△GEH∽△GFC 易得CF=2EG，从而证得
；
（3）分两种情况，F点在线段DC上和F点在线段CD的延长线上，设BE(或DE)的长为x,结合（2）的结论，利用等腰三角形及方程的思想即可得解.
（1）证明：连接CE，
∵四边形ABCD为正方形
∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°
∠ABE=∠CBE=45°
又BE=BE
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴∠1=∠3
又FG⊥AE
∴∠AEM=90°
∴∠1+∠AME=90°
又∠2+∠BMG=∠ABC=90°，∠AME=∠BMG
∴∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴EG=EC
又∠3+∠4=90°，∠2+∠5=90°
∴∠4=∠5
∴EC=EF
∴EF=EG
（2）作EH⊥BC，H为垂足，
则△BEH为等腰直角三角形，EG=BE，∠GHE=90°=∠BCD
又∠EGH=∠FGC
∴△GEH∽△GFC
∴
∴FC=2EH=2×EB=
EB
（3）或，简证如下：
①延长AE,交GC于M，连接AC,过点M作MH⊥AC，交AC于点H，则CM=MH
∵
，∠GEM=90°，∠EBM=45°,
∴
，
∴BE=GB=GM，
又∵易得∠BAM=∠CAM=22.5°，
∴AM平分∠BAC，
∴BM=MH
设BE=x，则BM=MH=x，CM=x，
∴BM+MC=BC=AB
∴x+x=4，
解得：x=4(-1)，
即BE=4(-1)，而CF=BE，
∴CF=
延长AE,交DC于M，连接AC,过点M作MH⊥AC，交AC于点H，则CM=MH
设DE=x，则同理可得DE=DF=DM=MH=x，CM=x，
∵DM+CM=DC=AB
∴x+x=4，
解得：x=4(-1)，
∴DE=DM=DF=4(-1)，
∴CF=CD+DF=4+4(-1)=4，
综上：
的长为或.
