题目内容

【题目】如图,DABCBC边上一点,连接AD,作ABD的外接圆,将ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在上.

1)求证:AE=AB

2)若∠CAB=90°cosADB=BE=2,求BC的长.

【答案】1)证明见解析;(2BC=

【解析】

1)由翻折的性质得出△ADE≌△ADC,根据全等三角形对应角相等,对应边相等得出∠AED=ACDAE=AC,根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=AED,根据等量代换得出∠ABD=ACD,根据等角对等边得出AB=AC,从而得出结论;(2)如图,过点AAHBE于点H,根据等腰三角形的三线合一得出BH=EH=1,根据等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠ABE=AEB=ADB,根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出BHAB = 13,从而得出AC=AB=3,在Rt三角形ABC中,利用勾股定理得出BC的长.

1)由题意得ADE≌△ADC

∴∠AED=ACDAE=AC

∵∠ABD=AED

∴∠ABD=ACD

AB=AC

AE=AB

2)如图,过点AAHBE于点H

AB=AEBE=2

BH=EH=1

∵∠ABE=AEB=ADBcosADB=

cosABE=cosADB=

=

AC=AB=3

∵∠BAC=90°AC=AB

BC=

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