Question

【题目】已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

∴四边形AODE是矩形；

（2）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ABC=180°﹣120°=60°，

∵AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴OA= ×6=3，OB= ×6=3 ，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB=3 ，

∴四边形AODE的面积=OAOD=3×3 =9 ．

【解析】（1）由已知DE∥AC，AE∥BD，可证得四边形AODE是平行四边形，再证明有一个角是直角，由菱形ABCD，即可证出∠AOD是直角，即可证得结论。
（2）抓住已知∠BCD=120°，根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形，再利用勾股定理求出OA、OD的长，即可求出矩形AODE的面积。