Question

如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

（1）该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x²+5x；
（2）M（2，6）；
（3）当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．

解析试题分析：（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；
（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值；本问需分类讨论：
①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示；
②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．
（3）△PQB为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解：
①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示；
②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示；
③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示．
试题解析：（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），
∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．
∵点B（4，4）在该抛物线上，
∴a×4×（4﹣5）=4．
∴a=﹣1．
∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x²+5x；
（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．
①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．

∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．
设M（x，﹣x²+5x），
过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），
∴ME=（﹣x²+5x）﹣x=﹣x²+4x．
S_△OBM=S_△MEO+S_△MEB=ME（x_E﹣0）+ME（x_B﹣x_E）=ME•x_B=ME×4=2ME，
∴S_△OBM=﹣2x²+8x=﹣2（x﹣2）²+8
∴当x=2时，S_△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．
②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，
可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．
设M（x，﹣x²+5x），
过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），
∴ME=（﹣x²+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x²+9x﹣20．
S_△ABM=S_△MEB+S_△MEA=ME（x_E﹣x_B）+ME（x_A﹣x_E）=ME•（x_A﹣x_B）=ME×1=ME，
∴S_△ABM=﹣x²+x﹣10=﹣（x﹣）²+
∴当x=时，S_△ABM最大值为，即四边形的面积最大．
比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．
当x=2时，y=﹣x²+5x=6，
∴M（2，6）；
（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．
设P（m，﹣m²+5m），则Q（m，m）
当△PQB为等腰三角形时，
①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．
过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，
∴E（m，）．
∵BE∥x轴，B（4，4），
∴=4，
解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）
∴m=2；

②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．
易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．
∴PB∥x轴，
∴﹣m²+5m=4，
解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）
∴m=1；
③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示．
∵P（m，﹣m²+5m），Q（m，m），
∴PQ=﹣m²+4m．
又∵QB=（x_B﹣x_Q）=（4﹣m），
∴﹣m²+4m=（4﹣m），
解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），
∴m=．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．
考点：二次函数综合题．