Question

【题目】已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1

（1）求证：点P在直线l上。
（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，

∴点P的坐标为（m，m﹣1），

∵当x=m时，y=x﹣1=m﹣1，

∴点P在直线l上

（2）

解：当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，

当y=0时，x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，则A（﹣5，0），

当x=0时，y=x2+6x+5=5，则C（0，5），

可得解方程组，解得或，

则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），

作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，

∵OA=OC=5，

∴△OAC为等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∴∠MCE=45°﹣∠ACM，

∵QG=3，OG=2，

∴AG=OA﹣OG=3=QG，

∴△AQG为等腰直角三角形，

∴∠QAG=45°，

∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ，

∵∠ACM=∠PAQ，

∴∠APF=∠MCE，

∴Rt△CME∽Rt△PAF，

∴=，

设M（x，x2+6x+5），

∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x，

∴=，

整理得x2+4x=0，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，

∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）

（3）

解：解方程组得或，则P（m，m﹣1），Q（m+1，m），

∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1，

当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2，解得m1=，m2=；

当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2，解得m1=，m2=；

当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0，

综上所述，m的值为0，，，，．

【解析】（1）利用配方法得到y=（x﹣m）2+m﹣1，点P（m，m﹣1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；
（2）当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（﹣5，0），易得C（0，5），通过解方程组得P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，证明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得=，设M（x，x2+6x+5），则=，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，于是得到点M的坐标为（﹣4，﹣3）；
（3）通过解方程组得P（m，m﹣1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到PQ2=2，OQ2=2m2+2m+1，OP2=2m2﹣2m+1，然后分类讨论：当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2；当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2；当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可．