Question

已知反比例函数y1=

k

x

的图象与一次函数y₂=kx+m的图象相交于A（2，1）．
（1）分别求出这两个函数的解析式，并在同一坐标系内画出它们的大致图象；
（2）试判断P（-1，5）关于x轴的对称点Q是否在一次函数y₂=kx+m的图象上，若在请求出S_△APQ；若不在，请求出直线AQ的解析式；
（3）若一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为B，且B点的纵坐标为-4，请根据图象回答：①当x取何值时，y₁＞y₂；②当x取何值时，y₁•y₂＞0．

Answer 1

分析：（1）把A（2，1）代入反比例函数y1=

k

x

与一次函数y₂=kx+m的解析式即可求出k、m的值，可得到解析式，再画出函数图象即可；
（2）首先根据关于x轴对称的点的坐标特点写出Q点的坐标，再根据解析式计算当x=-1时，y的值，即可判断出Q点是否在一次函数图象上；根据P、Q、A点坐标可算出△APQ的面积；
（3）首先计算出b点坐标，再结合图象可以直接写出答案．

解答：解：（1）∵反比例函数y1=

k

x

的图象与一次函数y₂=kx+m的图象相交于A（2，1），
∴k=2×1=2，k×2+m=1，
∴k=2，m=-3，
∴y1=

2

x

，y₂=2x-3；

（2）∵点P（-1，5）关于x轴对称点Q的坐标为（-1，-5）
∴当x=-1时，y=2×（-1）-3=-5
∴点Q在直线y₂=2x-3上，
∴S_△APQ=

1

2

×10×3=15；

（3）∵B点的纵坐标为-4，
∴-4x=2，
x=-

1

2

，
∴双曲线与直线的两个交点A（2，1）、B（-

1

2

，-4），
①当x＜-

1

2

或0＜x＜2时，y₁＞y₂，
②∵直线AB与x轴交于点（

3

2

，0），
∴当x＞

3

2

或x＜0时，y₁•y₂＞0．

点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，画反比例函数与一次函数图象，判断点是否在函数图象上，利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．