题目内容
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA=
，AD=
OD，点B
的横坐标为
（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积．
（2）已知反比例函数y1和一次函数y2，结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）在坐标轴上是否存在点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
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的横坐标为| 1 |
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（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积．
（2）已知反比例函数y1和一次函数y2，结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）在坐标轴上是否存在点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）连接OB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD、AD，确定A点坐标，根据反比例函数图象上的点横坐标与纵坐标的积不变，求B点纵坐标，根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，根据直线AB的解析式求OC的长，求△AOB的面积；
（2）根据A、B两点的横坐标，可求当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）①当AO为等腰三角形的底时，作线段OA的中垂线，与坐标轴相交，有两交点为所求P点；
②当OA为腰，点A为顶点时，以A为圆心，OA长为半径圆弧，与坐标轴相交，有两交点为所求P点；
当OA为腰，点O为顶点时，以O为圆心，OA长为半径圆弧，与坐标轴相交，有四个交点即为所求P点．
（2）根据A、B两点的横坐标，可求当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）①当AO为等腰三角形的底时，作线段OA的中垂线，与坐标轴相交，有两交点为所求P点；
②当OA为腰，点A为顶点时，以A为圆心，OA长为半径圆弧，与坐标轴相交，有两交点为所求P点；
当OA为腰，点O为顶点时，以O为圆心，OA长为半径圆弧，与坐标轴相交，有四个交点即为所求P点．
解答：解：（1）如图，连接OB，在Rt△AOD中，OA=
，AD=
OD，且OD2+AD2=OA2，
代入解得AD=1，OD=2，故A（-2，1），设B点纵坐标为h，已知B点横坐标为
，
则（-2）×1=
h，
解得h=-4，
故B（
，-4），
设直线AB解析式为y=kx+b，则
，
得
，
直线AB解析式为y=-2x-3，由此可得C（-
，0），
所以，S△AOB=S△AOC+S△BOC=
×
×（1+4）=
；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞
；
（3）存在点P使△OAP为等腰三角形，
此时，P点坐标为（
，0），（0，
），（-4，0），（0，2），（-
，0），（
，0），（0，
），（0，-
）．
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代入解得AD=1，OD=2，故A（-2，1），设B点纵坐标为h，已知B点横坐标为
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则（-2）×1=
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解得h=-4，
故B（
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设直线AB解析式为y=kx+b，则
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得
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直线AB解析式为y=-2x-3，由此可得C（-
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所以，S△AOB=S△AOC+S△BOC=
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（2）当y1＞y2时，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞
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（3）存在点P使△OAP为等腰三角形，
此时，P点坐标为（
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点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据勾股定理求A点坐标，根据反比例函数图象上点的特点求B点坐标，确定直线AB的解析式，再结合图象的性质，等腰三角形的性质解题．
练习册系列答案
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如图，已知反比例函数y=
( x<0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.
(x>0)的图象与y1= – 
（x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值．
（x＞0）的图象与
的坐标．
解答：
