题目内容
如图,已知直线l分别与x轴、y轴交于A,B两点,与双曲线y=
(a≠0,x>0)分别交于D、E两点.
(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):
①分别求出直线l与双曲线的解析式;
②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?
(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.
a |
x |
(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):
①分别求出直线l与双曲线的解析式;
②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?
(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.
(1)①把D(4,1)代入y=
得a=1×4=4,
所以反比例函数解析式为y=
(x>0);
设直线l的解析式为y=kx+t,
把D(4,1),E(1,4)代入得
,
解得
.
所以直线l的解析式为y=-x+5;
②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=-x+5-m,
当方程组
只有一组解时,直线l与双曲线有且只有一个交点,
化为关于x的方程得x2+(m-5)x+4=0,
△=(m-5)2-4×4=0,解得m1=1,m2=9,
而m=9时,解得x=-2,故舍去,
所以当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;
(2)作DF⊥x轴,如图,
∵点D为线段AB的n等分点,
∴DA:AB=1:n,
∵DF∥OB,
∴△ADF∽△ABO,
∴
=
=
,即
=
=
,
∴AF=
,DF=
,
∴OF=a-
,
∴D点坐标为(a-
,
),
把D(a-
,
)代入y=
得(a-
)•
=a,
解得b=
.
a |
x |
所以反比例函数解析式为y=
4 |
x |
设直线l的解析式为y=kx+t,
把D(4,1),E(1,4)代入得
|
解得
|
所以直线l的解析式为y=-x+5;
②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=-x+5-m,
当方程组
|
化为关于x的方程得x2+(m-5)x+4=0,
△=(m-5)2-4×4=0,解得m1=1,m2=9,
而m=9时,解得x=-2,故舍去,
所以当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;
(2)作DF⊥x轴,如图,
∵点D为线段AB的n等分点,
∴DA:AB=1:n,
∵DF∥OB,
∴△ADF∽△ABO,
∴
AF |
AO |
DF |
BO |
AD |
AB |
AF |
a |
DF |
b |
1 |
n |
∴AF=
a |
n |
b |
n |
∴OF=a-
a |
n |
∴D点坐标为(a-
a |
n |
b |
n |
把D(a-
a |
n |
b |
n |
a |
x |
a |
n |
b |
n |
解得b=
n2 |
n-1 |
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