Question

如图1，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．
（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是

 

，并说明理由；
（2）如图2，已知D（-

1

2

，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，点P为抛物线上一点（与点E不重合），且S_△PAC=S_△ACE，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）△AOC是等腰直角三角形，根据中心中心对称图形的性质易证，四边形OABC是菱形，然后根据正方形的定义即可证得是正方形；
（2）利用待定系数法即可求得经过点A、C、D的抛物线的解析式，直线BC的解析式是y=2，因而把y=2代入抛物线的解析式即可求得E的坐标；
（3）分当点P在直线AC的上方和点P在直线AC的下方时两种情况，分别求得过E点，且平行于AC的直线的解析式，解直线的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求得交点坐标．

解答：解：（1）设A的中点为F，连接OF并延长至B，使得BF=OF；
连接AC，AB，则△ABC为所求作的△AOC的中心对称图形，
∵A（2，0），C（0，2），
∴OA=OC．
∵△ABC是△AOC的中心对称图形，
∴AB=OC，BC=OA，∴OA=AB=BC=OC，
∴四边形OABC是菱形，
又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是正方形．
（2）设经过点A、C、D的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，则
∵A（2，0），C（0，2），D（-

1

2

，0），
∴

4a+2b+c=0 c=2 1 4 a- 1 2 b+c=0

，解得：

a=-2 b=3 c=2

，…（7分）
∴抛物线的解析式为：y=-2x²+3x+2．
由（1）知，四边形OABC为正方形，
∴B（2，2），
∴直线BC的解析式为y=2，
令y=-2x²+3x+2=2，解得x₁=0，x₂=

3

2

，
∴点E的坐标为（

3

2

，2）．
（3）由题意，可得：S_△ACE=

1

2

CE•AB=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

．
①当点P在直线AC的上方时，过点E作直线m∥AC，与抛物线的交点为所求点．
设直线m的表达式为y=k₁x+b₁，则由题意，可得：k₁=-1，∴y=-x+b₁．
又∵点E在直线m上，∴-

3

2

+b₁=2，∴b₁=

7

2

，∴y=-x+

7

2

．
由

y=-x+ 7 2 y=-2x2+3x+2

得：

x1= 1 2 y1=2

或

x2= 3 2 y2=2

∴点P₁（

1

2

，3）．
②当点P在直线AC的下方时，作点E关于直线AC的对称点E′（0，

1

2

），过点E′作直线n∥AC，与抛物线的交点为所求点P．与①同理，可求得直线n的表达式为y=-x+

1

2

，则由

y=-x+ 1 2 y=-2x2+3x+2

得：

x1=1+ 7 2 y1= 5- 7 2

或

x2=1- 7 2 y2= 5+ 7 2

，
∴点P₂（1+

7

2

，

5- 7

2

），P₃（1-

7

2

，

5+ 7

2

）．

点评：本题是待定系数法求函数解析式，正方形的判定以及函数图象交点坐标的求法的综合应用，正确分两种情况讨论是关键．