Question

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm／s，点Q运动的速度是2cm／s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动。设运动时间为t（s），解答下列问题。

（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；

（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ?

Answer 1

解：（1）△BPQ是等边三角形，

当t=2时，AP=2×1=2，BQ=2×2=4。

∴BP=AB－AP=6－2=4。

∴BQ=BP，

又∵∠B=60º，

∴△BPQ是等边三角形。

（2）过Q作QE⊥ AB，垂足为E。

由QB=2t，得QE=2t?sin60º=t，

由AP=t，得PB=6－t，

∴。

（3）∵QR∥BA，

∴∠QRC=∠A=60º，∠RQC=∠B=60º。

又∵∠C=60º，

∴△QRC是等边三角形

∴QR=RC=QC=6－2t。

∵BE=BQ?cos60º=，

∴EP=AB－AP－BE=6－t－t=6－2t。

∴EP∥QR，EP=QR。

∴四边形EPRQ是平行四边形，

∴PR=EQ=t。

又∵∠PEQ=90º，

∴∠APR=∠PRQ=90º，

∴△APR∽△PRQ，

∴∠QPR=∠A=60º，

∴，即，

解得

∴当时，△APR∽△PRQ。