Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？
（2）设梯形ABQP的面积为y，运动时间为x，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求当x等于多少时，梯形ABQP的面积是梯形ABCD的一半？

Answer 1

分析：（1）四边形PQCD成为平行四边形，即PD=CQ，而PD和CQ都可以用含有时间t的代数式表示，即列方程进行解答．
（2）因为S_梯形ABQP=

1

2

(BQ+AP)×AB，而AB为已知，BQ、AP都可用x表示，所以y与x之间的关系式即可表示出来．
（3）梯形ABCD的面积可根据题中数值进行求解，而梯形ABQP的面积公式由（2）以求得，所以此问只需解方程即可．

解答：解：（1）因为PD∥CQ，所以PD=CQ时，四边形PDCQ为平行四边形．
若设t秒后为平行四边形，此时PD=24-t，CQ=3t，所以
24-t=3t
∴t=6

（2）∵S_梯形ABQP=

1

2

(BQ+AP)×AB
BQ=26-3x，AP=x，AB=8，
∴y=

1

2

(26-3x+x)×8
即y=-8x+104（0≤x≤

26

3

）．

（3）S_梯形ABCD=

1

2

(26+24)×8=200，
由题可知-8x+104=

1

2

(24+26)×8×

1

2

=

1

2

×200=100，
解之得x=

1

2

，
即x=

1

2

时梯形ABQP的面积是梯形ABCD的一半．

点评：此题考查了平行四边形的判定，以及梯形面积的计算和函数的一些基本知识，涵盖比较全面，难易适中．