Question

【题目】在正方形ABCD的内侧作直线BM，点C关于BM的对称点为E，直线BM与EA的延长线交于点F，连接BE、CE、CF．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：CF⊥EF；

（3）直接写出线段AB、EF、AF之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）EF2+AF2＝2AB2

【解析】

（1）依题意画图；

（2）由BE＝BE＝BC构造出E、A、C在以B为圆心的圆上，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得出∠FEC＝45°由FB是EC的垂直平分线推出等腰△EFC,得出∠FEC＝∠FCE＝45°，由三角形内角和推出∠EFC＝90°，得出结论；

（3）利用勾股定理： 得出 由于 得出结论。

解：（1）图形如图1中所示：

（2）如图2中，

∵BE＝BE＝BC，

∴E、A、C在以B为圆心BC为半径的⊙B上，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠FEC＝∠ABC＝45°，

∵BM是线段EC的垂直平分线，

∴FE＝FC，

∴∠FEC＝∠FCE＝45°，

∴∠EFC＝90°，即EF⊥CF．

（3）如图3中，结论：．

理由：连接AC．

∵∠AFC＝∠ABC＝90°，