题目内容
【题目】已知:如图,等边△ABC内接于⊙O,点P是劣弧上的一点(端点除外),延长BP至D,使BD=AP,连接CD.
(1)若AP过圆心O,如图①,请你判断△PDC是什么三角形?并说明理由;
(2)若AP不过圆心O,如图②,△PDC又是什么三角形?为什么?
【答案】(1)△PDC为等边三角形,理由见解析(2)△PDC仍为等边三角形,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)观察图形可得△PDC为等边三角形,先根据条件证明△APC≌△BDC得出PC=DC,然后根据条件证明∠CPD=60°即可得出结论;(2)利用(1)中方法即可得出结论.
试题解析:(1)如图①,△PDC为等边三角形.(2分)
理由如下:
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中,∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵AP过圆心O,AB=AC,∠BAC=60°
∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°
∴∠PBC=∠PAC=30°,∠BCP=∠BAP=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC为等边三角形;(6分)
(2)如图②,△PDC仍为等边三角形.(8分)
理由如下:
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中,∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP,∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°
∴△PDC为等边三角形.
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