Question

如图，正方形ABCD中，G是BC中点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，GN∥DE，M是BC延长线上一点．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）尺规作图：作∠DCM的平分线，交GN于点H（保留作图痕迹，不写作法和证明），试证明GH=AG．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,作图—复杂作图

专题：

分析：（1）利用正方形的性质得出∠GAB=∠ADE，∠AED=∠BFA=90°，AB=AD进而得出全等三角形即可；
（2）利用角平分线的画法以及全等三角形的判定与性质得出即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠GAB=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠GAB=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE ∠BFA=∠AED AB=DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）如图所示：
方法1：作HI⊥BM于点I，
∵GN∥DE，
∴∠AGH=∠AED=90°，
∴∠AGB+∠HGI=90°．
∵HI⊥BM，
∴∠GHI+∠HGI=90°，
∴∠AGB=∠GHI．
∵G是BC中点，
∴tan∠AGB=

AB

BG

=2，
∴tan∠GHI=tan∠AGB=

GI

HI

=2，
∴GI=2HI，
∵CH平分∠DCM，
∴∠HCI=

1

2

∠DCM=45°，
∴CI=HI，
∴CI=CG=BG=HI，
在△ABG和△GIH中，

∠ABG=∠GIH BG=HI ∠AGB=∠GHI

，
∴△ABG≌△GIH（ASA），
∴AG=GH；

方法2：作AB中点P，连结GP，
∵P、G分别是AB、BC中点 且AB=BC，
∴AP=BP=BG=CG，
∴∠BPG=45°．
∵CH平分∠DCM，
∴∠HCM=

1

2

∠DCM=45°，
∴∠APG=∠HCG=135°．
∵GN∥DE，
∴∠AGH=∠AED=90°，
∴∠AGB+∠HGM=90°，
∵∠BAG+∠AGB=90°，
∴∠BAG=∠HGM．
在△AGP和△GHC中

∠PAG=∠CGH AP=GC ∠AGP=∠GHC

，
∴△AGP≌△GHC（ASA），
∴AG=GH．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和角平分线的画法等知识，熟练利用正方形的性质得出对应线段和角的关系是解题关键．