题目内容
【题目】如图，抛物线y=
x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．
【答案】（1）y=
x2-
x-2；（, -
）；（2）△ABC是直角三角形；（3）
，△ACM最小周长是
.
【解析】试题分析：（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；
（2）分别得出AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；
（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．
解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=
x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，
解得：b=﹣
，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．
y=（x﹣）2﹣
，
∴顶点D的坐标为：（，﹣
）；
（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．
当y=0时，
x2﹣
x﹣2=0，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴B （4，0），
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
（3）如图所示：连接AM，
点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，
MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，
设直线BC解析式为：y=kx+d，则
，
解得：
，
故直线BC的解析式为：y=x﹣2，
当x=时，y=﹣
，
∴M（，﹣），
△ACM最小周长是：AC+AM+MC=AC+BC=
+2=3．
【题目】某校未为了解学生每天参加体育锻炼的时间情况，随机选取该校的部分学生进行调查．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
组别 | A | B | C | D | E |
时间t/min | t＜45 | 45≤t＜60 | 60≤t＜75 | 75≤t＜90 | t≥90 |
人数 | 12 | 18 | m | 30 | 18 |
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生中，每天参加体育锻炼的时间不少于90min的有_____人，这些学生数占被调查总人数的百分比为_____%，每天参加体育锻炼的时间不足60min的有_____人；
（2）被调查的学生总数为_____人，统计表中m的值为_____，统计图中n的值为_____，被调查学生每天参加体育锻炼时间的中位数落在_____组；
（3）该校共有960名学生，根据调查结果，估计该校每天参加体育锻炼的时间不少于60min的学生数．
