题目内容
如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B,AC切⊙O2于C,交⊙O1于D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-
x+4=0的两个根.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)求PC的长;
(3)若弧BP=弧BC,且S△PBC:S△APC=1:k,求代数式m(k2-k)的值.
m+16 |
(1)求证:∠1=∠2;
(2)求PC的长;
(3)若弧BP=弧BC,且S△PBC:S△APC=1:k,求代数式m(k2-k)的值.
(1)证明:过P作两圆的公切线MN,则有:
∠MPA=∠PCB=∠D;
又∵AD是⊙O2的切线,
∴∠PCD=∠PBC,
∴△PBC∽△PCD,
∴∠1=∠2.
(2)由(1)知:△PBC∽△PCD,得:
PB:PC=PC:PD,即PC2=PB•PD;
∵PB、PD的长是关于x的方程x2-
x+4=0的两个根,
∴PB•PD=4,
∴PC2=4,即PC=2.
(3)∵S△PBC:S△APC=1:k,
∴AP:BP=k:1,即AB:AP=(k-1):1;
∵
=
,
∴∠1=∠BCP,BP=BC;
又∵∠1=∠2,
∴∠2=∠BCP;
∴BC∥PD,
∴△ABC∽△APD,
∴
=
,即
=
;
∴
=
,即PB=
PD,
又∵PB+PD=
,
∴PB=
,PD=
;
∵PB•PD=4,即:
×
=4,
化简得:k(k-1)(m+16)=4(2k-1)2,即:
(m+16)k2-(m+16)k=16k2-16k+4,
mk2-mk=4,即m(k2-k)=4.
∠MPA=∠PCB=∠D;
又∵AD是⊙O2的切线,
∴∠PCD=∠PBC,
∴△PBC∽△PCD,
∴∠1=∠2.
(2)由(1)知:△PBC∽△PCD,得:
PB:PC=PC:PD,即PC2=PB•PD;
∵PB、PD的长是关于x的方程x2-
m+16 |
∴PB•PD=4,
∴PC2=4,即PC=2.
(3)∵S△PBC:S△APC=1:k,
∴AP:BP=k:1,即AB:AP=(k-1):1;
∵
BP |
BC |
∴∠1=∠BCP,BP=BC;
又∵∠1=∠2,
∴∠2=∠BCP;
∴BC∥PD,
∴△ABC∽△APD,
∴
BC |
PD |
AB |
AP |
BP |
PD |
AB |
AP |
∴
BP |
PD |
k-1 |
k |
k-1 |
k |
又∵PB+PD=
m+16 |
∴PB=
(k-1)
| ||
2k-1 |
k
| ||
2k-1 |
∵PB•PD=4,即:
(k-1)
| ||
2k-1 |
k
| ||
2k-1 |
化简得:k(k-1)(m+16)=4(2k-1)2,即:
(m+16)k2-(m+16)k=16k2-16k+4,
mk2-mk=4,即m(k2-k)=4.
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