Question

已知：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120°，将直角三角板PMN的30°角的顶点P与点A重合，旋转三角板PMN，在旋转过程中，三角板PMN的直角边PM与直线BC交于点E，斜边PN与直线DC交于点F，连接EF．
（1）当E、F分别在线段BC、CD上时，（如图①），求证：EF=BE+DF；
（2）当E、F分别在直线BC、CD上时，（如图②、图③），线段EF、BE、DF之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论．

Answer 1

（1）延长CD到H点，使DH=BE，连接AH，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠ADF+∠ADH=180°，
∴∠ADH=∠B，
∵AD=AB，DH=BE，
∴在△ADH和△ABE中，

DH=BE ∠ADH=∠ABE AD=AB

，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠HAD=∠EAB，
∵∠DAB=60°，∠FAE=30°，
∴∠EAB+∠DAF=30°，
∴∠DAF+∠HAD=30°，即∠HAF=30°，
∴在△HAF和△EAF中，

AH=AE ∠HAF=∠EAF AF=AF

，
∴△HAF≌△EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HD+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，

（2）如图②，BE=EF+DF，
如图③，DF=EF+BE．