题目内容
【题目】如图所示，
是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点
与原点
重合，点
在
轴的正半轴上，点
在
轴的正半轴上．已知
，
．将纸片的直角部分翻折，使点落在
边上，记为点
，
为折痕，点
在轴上．
（1）在如图所示的直角坐标系中，点的坐标为，________，
________；
（2）线段
上有一动点
（不与点，重合）自点沿方向以每秒
个单位长度向点做匀速运动，设运动时间为
，过点作
交于点
，过点作
交
于点
，求四边形
的面积
与时间
之间的函数表达式．当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）当为何值时，，，三点构成一个等腰三角形？并求出点的坐标．
【答案】（1）
，
；（2）当
时，
最大
；（3）时，
的坐标为
；
时，M的坐标为
【解析】
（1）由折叠可知△AOE≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等，以及对应角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根据勾股定理求出AB的长，设出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而写出点E的坐标，再在直角三角形AOE中，根据勾股定理求出AE的长即可；
（2）根据两组对边互相平行得到四边形MNDP为平行四边形，又∠ADE为直角，所以MNDP为矩形，根据题意表示出AP的长，进而得到PD的长，又由平行得到两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，将各自的值代入表示出PM的长，由矩形的面积公式长乘以宽和表示出的长DP与宽PM，表示出矩形的面积，得到面积与t成二次函数关系，利用二次函数求最值的方法求出面积S的最大值及取得最大值时t的值即可；
（3）根据题意发现有两种情况满足△ADM为等腰三角形，①当MD=MA时，P为AD中点，由AD求出AP，进而根据速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据证明△APM≌△AFM，求出MF=MP，即为M的纵坐标，求出FA，进而求出OF的长，即为M的横坐标，写出M的坐标即可；②当AD=AM=3时，由平行的两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，求出AP的长，由速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，证明△APM≌△AFM，同理可得M的坐标．
解：（1）据题意，△AOE≌△ADE，
∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，
在Rt△AOB中，AB＝
＝5，
设DE=OE=x，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2+DE2=BE2，
即22+x2=（4-x）2，解得x＝
，
∴E（0，），
在Rt△AOE中，AE＝
；
（2）
，
，且
，
四边形
是矩形，
，
，
∽
，
，
，
，
当
s时，
；
（3）
为等腰三角形有以下两种情况：
①当
时，点
是
的中点，
s，
s，
当时，
，
，三点构成一个等腰三角形，
如图1，过点作
于点
，
在△APM和△AFM中
，
（AAS），
，
，
，
此时点的坐标为，
②当
时，
，
，即
，
s，
当
s时，，，三点构成一个等腰三角形，
如图2，过点作于点，
在△AMF和△AMP中，
，
（AAS），
，
，
，
此时点的坐标为．
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【题目】车间有20名工人，某天他们生产的零件个数统计如下表．
车间20名工人某一天生产的零件个数统计表
生产零件的个数（个） | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 15 | 16 | 19 | 20 |
工人人数（人） | 1 | 1 | 6 | 4 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数；
（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？