Question

在边长为1的正三角形中任意放入122个点，必有2个点的距离不大于

1

n

，n为大于0的整数．则n的最大值为

 

．

Answer 1

分析：要使任意两个的点的距离最大必须使这些点均匀分布，根据抽屉原理，先把122-1=121个点，均匀的放到大等边三角形中，那么把大等边三角形平均分成121个小等边三角形，在这121个小等边三角形中各放一个点，再放第122个点，不论放到哪一个小等边三角形里，总有两个点的距离不大于

1

11

，因为每个小等边三角形的边长为1÷11=

1

11

，设把大等边三角形的每个边长n等分，那么小等边三角形的每个边长为

1

n

，从第一等分点开始以次有：1、3、5、7、…个小等边三角形；根据等差数列可得最后一个等分点有小等边三角形：1+（n-1）×2=2n-1个，再根据高斯求和公式可得：（1+2n-1）n÷2=121，解答即可．

解答：解：设把大等边三角形的每个边长n等分，那么小等边三角形的每个边长为

1

n

，从第一等分点开始依次有：1、3、5、7、…个小等边三角形；根据等差数列可得最后一个等分点有小等边三角形：1+（n-1）×2=2n-1个，
列方程得（1+2n-1）n÷2=121，
                    n²=121
                     n=11．
故答案为：11．

点评：解答本题的关键是找出点的个数与2个点的距离的联系，发现规律，从而解决问题．