Question

（1）求2的2008次方除以3的余数？
（2）求1999的1999次方除以3的余数是多少？

Answer 1

考点：乘方

专题：文字叙述题

分析：（1）此题应利用从一般到特殊的数学方法找出规律解决问题．从2的1次方开始，除以3的余数为2；2的2次方除以3的余数为1；2的3次方除以3的余数为2；2的4次方除以3的余数为1；2的5次方除以3的余数为2；…；可以发现：当指数为奇数时，2的奇数次方除以3的余数为2；当指数为偶数时，2的偶数次方除以3的余数为1；从而可以判断2的2008次方除以3的余数；
（2）本题也要寻找规律，把1999化为1998+1，由1998能被3整除，经过推理证明：1999的任何次方除以3的余数都与1999除以3的余数相同，从而判断结果是多少．

解答： 解：（1）因为2的1次方除以3的余数为2；
2的2次方除以3的余数为1；
2的3次方除以3的余数为2；
2的4次方除以3的余数为1；
2的5次方除以3的余数为2；
…；
可以发现：当指数为奇数时，2的奇数次方除以3的余数为2；当指数为偶数时，2的偶数次方除以3的余数为1；
由此可以判断2的2008次方除以3的余数为1；

（2）1999¹⁹⁹⁹=1999¹⁹⁹⁸×1999
=1999¹⁹⁹⁸×（1998+1）
=1999¹⁹⁹⁸×1998+1999¹⁹⁹⁸
因为1999¹⁹⁹⁸×1998中含有因数1998，1998能被3整除，所以1999¹⁹⁹⁸×1998能被3整除，因而1999¹⁹⁹⁹除以3的余数和1999¹⁹⁹⁸除以3的余数相同；
继续推理，1999¹⁹⁹⁸除以3的余数又和1999¹⁹⁹⁷除以3的余数相同；
…；
最后发现：1999¹⁹⁹⁹除以3的余数和1999的1次方即1999除以3的余数相同，
而1999÷3的余数为1，
所以1999的1999次方除以3的余数是1．

点评：此题主要考查了同余问题的性质，从一般到特殊找到规律是解决问题的关键．