Question

对于自然数n，n的因数个数用A（n）表示，n的所有因数的和用B（n）表示．
（1）A（54）=

 

，B（54）=

 

；
（2）当A（n）=2时，A一定是

 

数；
（3）当A（n）=6时，A最小是

 

．

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：（1）先把54分解质因数，再进一步求得因数个数和因数和即可；
（2）根据质数的意义可知：只含有两个因数的数，由此得出答案即可；
（3）因为因数个总个数为6，所以从最小的质因数2和3和个数考虑解决问题．

解答： 解：（1）54=2×3×3×3，
则A（54）=（1+1）×（3+1）=8，B（54）=（2⁰+2¹）（3⁰+3¹+3²+3³）=120；
（2）当A（n）=2时，A一定是质数；
（3）当A（n）=6时，
6=1×6=2×3
所以A=2⁵=32，或A=2²×3=12．
A最小是12．
故答案为：8，120；质；12．．

点评：对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p₁^a₁?p₂^a₂?p₃^a₃?…*p_k^a_k，可知n的正约数有（a?+1）（a?+1）（a?+1）…（a_k+1）个，那么n的（a?+1）（a?+1）（a?+1）…（a_k+1）个正约数的和为 f（n）=（p₁⁰+p₁¹+p₁²+…+p₁^a₁）…（p_k⁰+p_k¹+p_k²+…p_k^a_k）．