Question

各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：这题直接用排列组合的思路很繁难．计算量非常大．需要转变思路．考虑这样的六位数：ABCD00，它必能被100整除，则六位数ABCD00-四位数ABCD必能被99整除．我们就要找到这样的ABCD，使得ABCD00-ABCD 各位数字不大于5．进一步分类探讨得出答案即可．

解答： 解：设六位数是六位数ABCD00-四位数ABCD必能被99整除．
显然：
1≤A≤5，0≤B≤5．在此基础上：
10-D≤5，得D≥5．
9-C≤5，得4≤C≤9．
D-1-B≤5，得B≥D-6
C-A-1≤5，得A≥C-6
根据上述条件，枚举C、D，并结合A、B的范围，有：
D=5时，B=5、4、3、2、1共5种
D=6时，B=4、3、2、1共4种
D=7时，B=4、3、2共3种
D=8时，B=4、3共2种
D=9时，B=4共1种
C=6时，A=5、4、3、2、1共5种
C=7时，A=5、4、3、2共4种
C=8时，A=5、4、3共3种
C=9时，A=5、4共2种
可知这样的数一共有：
5×6×（5+4+3+2+1）×（5+4+3+2）=6300（种）
答：能被99整除的六位数共有6300个．

点评：此题考查数的整除特征，注意问题的转化，把问题变得简单易行是解决问题的关键．