Question

一个由三个长方形、两个相同的直角三角形拼合成的三棱柱形的封闭容器里存有一些水，当如图中方式放置时，水面高2厘米，如果改变方式放置时，水高最少为几厘米？最高为几厘米？（必须有一个面水平贴地）

Answer 1

考点：体积的等积变形

专题：立体图形的认识与计算

分析：两个直角三角形的两条直角边的长是3和4，根据勾三股四玄五的原理，则斜边的长是5，如图的放置，是边长为3的作为底边，高是2，等于另一直角边4的一半，则水面与三角形的交界线是三角形的中位线，长度是底边3的一半即1.5，此时水的体积是看作底边是梯形高12的柱子，等于（1.5+3）×2÷2×12=4.5×12=54立方厘米；
当斜边5所在的长方形作为底边时，水面的高最少，此时水柱的高仍然是12厘米，地面是梯形，一个底边是5厘米，另一个底边应该是此时三角形的中位线，只有这样才遵守水的体积不变原理，高都是12厘米，底面面积都是三角形面积的

3

4

，中位线的长度是5÷2=2.5厘米，水面的高是三角形斜边高的一半，即3×4÷5÷2=1.2厘米（原理是三角形的面积相等），此时水的体积是（2.5+5）×1.2÷2×12=7.5×0.6×12=4.5×12=54立方厘米，符合体积不变原理；
当三角形作为底边时水面的高度最大，等于54÷三角形面积=54÷（3×4÷2）=54÷6=9厘米；据此得解．

解答：解：如图，

根据勾三股四玄五的原理，则斜边的长是5；
根据分析，得水的体积是：（1.5+3）×2÷2×12=4.5×12=54立方厘米；
当斜边5所在的长方形作为底面时，水面高度最少，是3×4÷5÷2=1.2厘米（原理是三角形的面积相等）；
当三角形作为底面时，水面高度最大，是54÷（3×4÷2）=54÷6=9厘米；
答：水高最少为1.2厘米，最高为9厘米．

点评：根据水的体积不变，以及三角形的面积不变来解决实际问题，正确理解中位线的特点是解决此题的关键．发展了学生的空间想象力．