Question

将两个不同的自然数中较大的数换成他们的差，称为一次操作，如此继续下去，直到这两个数相同为止．如对20和26进行这样的操作，过程如下：
（20，26）→（20，6）→（14，6）→（8，6）→（2，6）→（2，4）→（2，2）
（1）对45和80进行上述操作．
（2）若对两个四位数进行上述操作，最后得到的相同数是17．求这两个四位数的和的最大值．

Answer 1

分析：（1）把（45，80）算出两数的差，然后用差代替较大的数，直到两数相等；由此求解．
（（2）这是用辗转相除法求最大公约数的运算，所以两个四位数的最大公约数为17，9999÷17=588…3，所以最大的四位数是9999-3=9996，第二大的四位数是9996-17=9979，再求出它们的和即可．

解答：解：（1）（45，80）→（45，35）→（10，35）→（10，25）→（10，15）→（10，5）→（5，5）．

（2）9999÷17=588…3，
9999-3=9996，
9996-17=9979，
9996+9979=19975．
答：两个四位数的和的最大值是19975．

点评：辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数．