Question

已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a-1，a²，a³-1，求该自然数的值．

Answer 1

考点：带余除法

专题：余数问题

分析：根据题意可得，自然数61，154，201被某自然数除所得的余数分别是a，a²，a³，依此得到该自然数的值可能为：3，29，41，3×29，3×41，29×41，3×29×41，进一步检验即可求解．

解答： 解：60=nr+a-1，
61=nr+a，
a²=（61-nr）²=3721+n²r²-122nr
154=ns+a²，
a²=154-ns
200=nt+a³-1，
201=nt+a³，
则3721+n²r²-122nr=154-ns，
3567=n（122r-s-nr²）
3567=3×29×41，
n可能为：3，29，41，3×29，3×41，29×41，3×29×41，
经检验，只有当n=29，a=3时，满足题意．
60=29×2+3-1
154=29×5+3×3
200=29×6+3×3×3-1
答：该自然数的值是29．

点评：考查了带余除法，本题关键是理解由60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a-1，a²，a³-1得到自然数61，154，201被某自然数除所得的余数分别是a，a²，a³．