Question

有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法．这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）

Answer 1

考点：最大与最小

专题：竞赛专题

分析：连续20个正整数，设第一个为a，则第二个为a+1…，那么这20个连续正整数和为20a+190=10×（2a+19），这个数可以被2和10整除，即这个整数一定含有因数2和5，又因为恰好有20种方法，所以它的奇质因数的个数也必须是20个，因此要最小，除了质因数2、5外最小是3，因此3的个数是19个；据此解答即可．

解答： 解：连续20个正整数，设第一个为a，则第二个为a+1…，
那么这20个连续正整数和为20a+190=10×（2a+19），
这个数可以被2和10整除，即这个整数一定含有因数2和5，
又因为恰好有20种方法，所以它的奇质因数的个数也必须是20个，
因此要最小，除了质因数2、5只有一个外，最小是3，因此3的个数是20-1=19个；
所以，这个数最小，质因数分解是：N=2×5×3¹⁹；
答：最小是2×5×3¹⁹．

点评：本题关键是明确，一个正整数的分解方法（成连续正整数之和）等于奇质因数的个数．