Question

将三位数

.

3ab

重复写下去，一共写1993个

.

3ab

，所得的数正好能被91整除，求

.

ab

．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：先把91分解质因数，再根据数的整除特征和能被7和13整除的数的特征解答即可．

解答： 解：因为91=13×7，并且7与13互质，7能整

.

3ab3ab…3ab

，13能整除

.

3ab3ab…3ab

；
根据一个数能被7和13整除的特征可得：这个三位数能被7和13整除，并且

.

3ab…3ab

（1992组

.

3ab

）-

.

3ab

能被7和13整除，即

.

3ab…3ab000

（1991组）能被7和13整除；
因为7与10 互质，10与13互质，所以7能整除

.

3ab…3ab000

（1991组），13能整除

.

3ab…3ab000

，也就是7能整除

.

3ab…3ab

（1991组），13能整除

.

3ab…3ab

（1991组），用一次性质就去掉了2组

.

3ab

，反复使用996次，最后转化为原数能被7以及13整除，并且只能被7和13整除；
因为91的倍数中百位数是3的只有91×4=364小于1000，所以

.

3ab

=364．
所以

.

ab

=64．

点评：此题主要考查整除的意义，根据整除的意义和数的整除的特征解决有关的问题．一个数能被7（或13）整除，那么这个数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（或13）整除．然后根据数的整除性质与能被7（或13）整除的数的特征进一步解答即可．