Question

如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何图形的体积是多少？

Answer 1

考点：规则立体图形的体积

专题：立体图形的认识与计算

分析：直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的底面半径为AC，高为BC；以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的底面半径为BC，高为AC；由此利用圆锥的体积公式即可得出两个等式，进而即可求出直角三角形的三条边的长度；以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，从而利用圆锥的体积公式即可求解．

解答： 解：设BC=a，AC=b，
那么以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为

ab2π

3

，
以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为

a2bπ

3

，
由此可得：

ab2=48 a2b=36

，两个等式相除可以得到

b

a

=

4

3

，
将这个比例式代入原方程可以得到：

a=3 b=4

，
根据勾股定可以得出这个直角三角形的斜边的长度是5，那么斜边上的高就是2.4，
因此以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，
底面半径为2.4，高的和为5，
所以体积是

2.42×5×π

3

=9.6π．
答：所形成的几何图形的体积是9.6π．

点评：此题主要考查圆锥体的体积的计算方法，关键是明确圆锥的底面半径和高的长度．