Question

（1）能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
（2）能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？

Answer 1

考点：数字问题

专题：传统应用题专题

分析：（1）为了解答方便，将直线上的8个数依次记为a₁，a₂，a₃，…，a₈，则有S=a₁+a₂+a₃+…+a₈=1+2+3+…+8=36．假设任意3个相邻的数都大于13，所以：a₁+a₂+a₃≥14；a₂+a₃+a₄≥14；…；a₆+a₇+a₈≥14；将以上6个不等式相加，得3S≥84，从而S＞26＜36，因此矛盾．
（2）为了解答方便，将圆圈上8个数依次记为a₁，a₂，a₃，…，a₈，则有S=a₁+a₂+a₃+…+a₈=1+2+3+…+8=36．假设任意3个相邻的数都大于13，所以：a₁+a₂+a₃≥14；a₂+a₃+a₄≥14；…；a₇+a₈+a₁≥14；a₈+a₁+a₂≥14．　将以上8个不等式相加，得3S≥112，从而S＞37，这与S=36矛盾．

解答： 解：（1）为了解答方便，将直线上的8个数依次记为a₁，a₂，a₃，…，a₈，则有S=a₁+a₂+a₃+…+a₈=1+2+3+…+8=36．假设任意3个相邻的数都大于13，所以：a₁+a₂+a₃≥14；a₂+a₃+a₄≥14；…；a₆+a₇+a₈≥14；将以上6个不等式相加，得3S≥84，从而S＞26＜36，因此矛盾．故不能使得任意三个相邻数之和都不小于13．

（2）将圆圈上的8个数依次记为a₁，a₂，a₃，…，a₈，
则S=a₁+a₂+a₃+…+a₈=1+2+3+…+8=36；
假设任意3个相邻的数都大于13，所以：
a₁+a₂+a₃≥14；a₂+a₃+a₄≥14；…；a₇+a₈+a₁≥14；a₈+a₁+a₂≥14．
将以上8个不等式相加，得3S≥112，从而S＞37，这与S=36矛盾．
故不能使得任意三个数之和都不小于13．

点评：解数学题，需要正确的思路．对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论．但是，此题直接从正面不易找到解题思路，则可改变思维的方向，运用假设法，从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决．