Question

已知正整数n是7与8的公倍数，n各位上的数码全都是7或8，且数码7与8各至少有一个．则满足上述条件的最小n的值为

 

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Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：因为这个数是7和8的倍数．那么就是56的倍数，也就是112的倍数，不难看到1000以内找不到符合要求的．我们可以先不管千位以上的数，因为1000是8的整数倍．只看后三位数，7或8组成，且是8的倍数，那么后三位只能是888．我们可以假定这个最小的数是1000×n+888．

解答： 解：因为这个数是7和8的倍数．那么就是56的倍数，也就是112的倍数，不难看到1000以内找不到符合要求的．我们可以先不管千位以上的数，因为1000是8的整数倍．只看后三位数，7或8组成，且是8的倍数，那么后三位只能是888．
假定这个最小的数是1000×n+888．因为，这个数是7的倍数．888÷7，余数为6.1000÷7，余数也为6．所以（1000×n+888）÷7，这个余数必须是7的倍数．由于6与7没有公约数，所以n+1必须是7的倍数．而且，n必须是由7或8组成的数．最小的n为7888．所以这个数为7888888．
故答案为：7888888

点评：本题属于难度很大的题目，不仅熟练掌握倍数概念，而且还需要有很强的推理能力．