Question

如图，边长为5的正六边形被平行于其边的直线划分为一系列边长为1的正三角形．将所有这些三角形的顶点称为结点．现知多于一半的结点都被染为红色．证明，可以找到5个被染红的结点位于同一个圆周上．

Answer 1

考点：抽屉原理,染色问题

专题：传统应用题专题

分析：首先我们看中间最小的一个正六边形，以中心点为圆心，可以构造出1个圆．然后再往外一个稍大的正六边形，可以构造出两个圆，…最后一共出现了1+2+2+3+3=11个同心圆，除了中心点以外，所有点都在唯一的圆上，如图：

因为有超过一半的点被染了颜色，也就是最少有46个点被染色（共有91个点），出去中间的点，还有45个点被染色，然后根据抽屉原理进行解答即可．

解答： 解：首先我们看中间最小的一个正六边形，以中心点为圆心，可以构造出1个圆．然后再往外一个稍大的正六边形，可以构造出两个圆，…最后一共出现了1+2+2+3+3=11个同心圆，除了中心点以外，所有点都在唯一的圆上，如图：

因为有超过一半的点被染了颜色，也就是最少有46个点被染色（共有91个点），出去中间的点，还有45个点被染色，45÷11=4…1，也就是平均每个圆上有4个点，那么再染一个一定会有五点共圆．

点评：此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用．