Question

如图，在长方形ABCD中，AE：ED=AF：AB=BG：GC．已知△EFC的面积为20，△FGD的面积为16，那么长方形ABCD的面积是多少？

Answer 1

考点：三角形面积与底的正比关系

专题：平面图形的认识与计算

分析：利用比例性质和图形中比较得出和差问题．三角形EFD和三角形CFG的面积之差是4．面积之和等于长方形CDEG的一半．通过比例的内项积等于外项积得到GC*AF=AB*BG，观察一下发现三角形EFD等于四边形ABGE的一半．而四边形EDGF恰好等于四边形ABGE的一半夹上四边形EDCG的一半，所以三角形FDG恰好等于四边形EDCG的一半．

解答： 解：设矩形ABCD的对边AB=CD=a，AD=BC=b，再设题中的比例常数
AE：ED=AF：AB=BG：GC=k，把这个表达式变换成k和矩形ABCD边长a、b的表达式，
则有：AE=BG=kb：（k+1）
ED=GC=

b

k+1

AF=ka，FB=（1-k）a
S（矩形ABCD）=ab=S（Rt△AFE）+S（△FEC）+S（ Rt△EDC）+S（Rt△FBC）
=

1

2

×AF×AE+20+

1

2

×ED×CD+

1

2

×FB×BC
=

1

2

×ka×kb：（k+1）+20+

1

2

×b：（k+1）×a+

1

2

×（1-k）a×b
=

1

k+1

×ab+20
解ab，得：
ab=

20×(k+1)

k

   （1）
同理S（矩形ABCD）=ab=S（Rt△FBG）+S（△FGD）+S（ Rt△GDC）+S（Rt△AFD）
=

1

2

×FB×BG+16+

1

2

×GC×CD+

1

2

×AF×AD
=

1

2

×（1-k）a×

k+1

kb

+16+

1

2

+b

b

k+1

×a+

1

2

×ka×b
=

2k+1

2k+2

×ab+16
解ab，得：
ab=32（k+1）（2）
根据（1）（2），解得k=

5

8

，代入（1）或（2），得到S（矩形ABCD）=ab=52cm

点评：本题主要利用的是比的性质和三角形的面积的计算方法．