Question

如图，其中“”表示开关，“”表示电灯，“”表示电源，电源两端的电线能连成环路灯就会亮，电路中共有l0个开关，每个开关可任选“开”或“关”一种状态，且互相独立．
（1）有

 

种方式使灯亮；
（2）有

 

种方式使灯灭．

Answer 1

考点：排列组合

专题：传统应用题专题

分析：该电路图分为干路和支路，其中支路分为上、中、下三条支路．要想灯亮，则干路为通路，支线至少一条为通路．上支路通路有3种情况，断路则有5种情况；中支路通路有7种情况，断路则有1种情况；下支路通路有1种情况，断路则有3种情况；干路通路只有1种情况；分类讨论各种支路的情况，再相加即可求解．

解答： 解：该电路图分为干路和支路，其中支路分为上、中、下三条支路．
要想灯亮，则干路为通路，支线至少一条为通路．
上支路通路有3种情况，断路则有5种情况；
中支路通路有7种情况，断路则有1种情况；
下支路通路有1种情况，断路则有3种情况；
干路通路只有1种情况：
1、上支路通路，中、下支路断路：3×1×3=9种；
2、上支路通路，中、下支路通路：3×7×1=21种；
3、上支路通路，中支路通路，下支路断路：3×7×3=63种；
4、上支路通路，中支路断路，下支路通路：3×1×1=3种；
5、上支路断路，中支路通路，下支路断路：5×7×3=105种；
6、上支路断路，中支路通路，下支路通路：5×7×1=35种；
7、上支路断路，中支路断路，下支路通路：5×1×1=5种；
灯亮情况有：1×（9+21+63+3+105+35+5）=241种；
总情况有2¹⁰=1024种；
灯灭情况有：1024-241=783种；
答：（1）有241种方式使灯亮；（2）有783种方式使灯灭．
故答案为：241，783．

点评：先理解题意，把它们进行分类，然后根据乘法原理求出每一类有多少种可能，再根据加法原理进行求解．