Question

用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？

Answer 1

考点：数字问题

专题：整除性问题

分析：我们看能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．这个差是几，那么余数就是几．

解答： 解：设一个五位数是

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abcde

，奇位数字之和与偶位数字用A、B来表示，另A＞B，有

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abcde

≡A-B≡k（mod11），其中0≤K≤10．
（1）用1、2、3、4、5组成的一个

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abcde

，数字和为A+B=15，因为A+B与A-B奇偶数相同，那么用1、2、3、4、5不能 组成余数为0的数，所以不能找到使得他们除以11的余数互不相同．
（2）用1、3、4、6、8组成一个

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abcde

，数字和为A+B=22，因为A+B与A-B奇偶相同，那么A-B一定为偶数，那些奇数的余数只能出现在A-B＞11时，当K=9，那么A-B=20不可能出现，所以不能找到使得它们除以11的余数互不相同．

点评：根据余数的性质，除数是11，余数只有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10种余数，不可能在这120个数中找到11个余数不相同的数．