Question

将l，2，3，4，…，n，这些数按顺序排成一个圆圈，然后将1后面的两个数（2，3）划去，4后面的两个数（5，6）划去，7后面的两个数（8，9）划去，…，一直划到只剩下1个数．
（1）当n=3，9，27时，最后这个数是几？
（2）猜想：当n=3^k（k为非零自然数）时，最后这个数是几？
（3）当n=1001时，最后这个数是几？试说明理由．

Answer 1

考点：数字问题

专题：传统应用题专题

分析：（1）第一次将划去2、3，第二次5、6，第三次，8、9，…．则每次划去数中第二个数都是3的倍数，所以当n=3，时，当2、3被划去时，还剩1；n=9，还当9被划去时，还剩下1、4、7、再划去4、7，还剩1．如n=27，最后还剩下1．由此可以发现，n=3^k（k为非零自然数）时，最后剩下的都是1．
（2）据1得出的结论完成即可．
（3）由于每次划去两个数，则当n为偶数是，划数不能只剩一个，只有奇数才可以．由此可通过操作找规律进行完成：
当n为3是，剩1；
当n为5是，剩4；
当n为7是，剩7；
当n为9是，剩1；
当n为11是，剩4；
当n为13是，剩7；
当n为15是，剩10；
当n为17是，剩13；
当n为19是，剩16；
当n为21是，剩19；
当n为23是，剩22；
当n为25是，剩25；
…
第一次7=7划了3次，
第二次25=25划了9次．
…
第K次3K-2=3K-2 用了3的K次方次，据此分析n=1001时，最后剩几．．

解答： 解：（1）根据操作要求，当n=3，时，当2、3被划去时，还剩1；n=9，还当9被划去时，还剩下1、4、7、再划去4、7，还剩1．如n=27，最后还剩下1．由此可以发现，n=3^k（k为非零自然数）时，最后剩下的都是1．
（2）由（2）可知，当n=3^k（k为非零自然数）时，最后这个数是1．
（3）于每次划去两个数，则当n为偶数是，划数不能只剩一个，只有奇数才可以．
当n为3是，剩1；
当n为5是，剩4；
当n为7是，剩7；
当n为9是，剩1；
当n为11是，剩4；
当n为13是，剩7；
当n为15是，剩10；
当n为17是，剩13；
当n为19是，剩16；
当n为21是，剩19；
当n为23是，剩22；
当n为25是，剩25；
…
第一次7=7划了3次，
第二次25=25划了9次．
…
第K次3K-2=3K-2 用了3的K次方次，
1001是第501个奇数，
用等比数列的求和公式找最接近501的数
3+9+27+…+243=363，
3+9+27+…+729=1092，
则364数到501时，答案从1，4，7，10，即3n-2向后，
共138×3-2=412．
当n=1001时，最后这个数是412．

点评：完成此类题要注意根据操作规律进行操作，找出内在规律后，根据规律进行分析解答．