题目内容
若a、b、c均为质数，若A=a2b2c，则A有多少个因数？若B=8A，则B有多少个因数？
考点：唯一分解定理,约数个数与约数和定理
专题：整除性问题
分析：约数个数与约数和定理：设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk ，那么n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）．依此即可求解．
解答：
解：因为a、b、c均为质数，若A=a2b2c，
所以A的因数个数为：（2+1）×（2+1）×（1+1）
=3×3×2
=18；
因为B=8A=23a2b2c，
所以B的因数个数为：（3+1）×（2+1）×（2+1）×（1+1）
=4×3×3×2
=4×18
=72．
答：A有18个因数，B有72个因数．
所以A的因数个数为：（2+1）×（2+1）×（1+1）
=3×3×2
=18；
因为B=8A=23a2b2c，
所以B的因数个数为：（3+1）×（2+1）×（2+1）×（1+1）
=4×3×3×2
=4×18
=72．
答：A有18个因数，B有72个因数．
点评：考查了唯一分解定理，约数个数与约数和定理，本题关键是将A和B正确分解因数．
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