题目内容
求证：可以找到一个各位数字都是7的自然数，它是2007的倍数．
考点：数的整除特征
专题：整除性问题
分析：因为2007=9×223，能被9整除则7的个数一定是9的倍数，再看223是素数，进一步由费尔玛定理分析探讨得出答案即可．
解答：
解：因为2007=9×223，
能被9整除则7的个数一定是9的倍数，再看223是素数，
由费尔玛定理可知10222=1（mod223），10222-1=0（mod223），即999…9（222个9）=0（mod223），
由于9与223互素，可知111…1=0（mod223），111…1（222个1组成）能被223整除．
下面证明111…1（222个1）是能被223整除的最小数，首先证明，能被223整除的最小数一定是全由1组成，
否则假设一个由n个1，m个零构成的数111…1100…00能被223整除，由111…1100…00=111…11×10m，且10m与223互素，
故111…11也能被223整除，这与111…1100…00是最小数矛盾．
另一方面，如果111…1（n个1）能被223整除，则999…9（n个9）也能被223整除，
则10n=1（mod223），由于10是223的原根，则必有n≥222，这就证明了111…1（222个1）是能被223整除的最小数．
所以再把1换做7，就可以找出一个各位数字都是7的自然数，它是2007的倍数．
能被9整除则7的个数一定是9的倍数，再看223是素数，
由费尔玛定理可知10222=1（mod223），10222-1=0（mod223），即999…9（222个9）=0（mod223），
由于9与223互素，可知111…1=0（mod223），111…1（222个1组成）能被223整除．
下面证明111…1（222个1）是能被223整除的最小数，首先证明，能被223整除的最小数一定是全由1组成，
否则假设一个由n个1，m个零构成的数111…1100…00能被223整除，由111…1100…00=111…11×10m，且10m与223互素，
故111…11也能被223整除，这与111…1100…00是最小数矛盾．
另一方面，如果111…1（n个1）能被223整除，则999…9（n个9）也能被223整除，
则10n=1（mod223），由于10是223的原根，则必有n≥222，这就证明了111…1（222个1）是能被223整除的最小数．
所以再把1换做7，就可以找出一个各位数字都是7的自然数，它是2007的倍数．
点评：此题考查数的整除特征，利用费马定理转化问题分析求解即可．
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