Question

试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：传统应用题专题

分析：根据题意，这个四位数可以表示成：a×1000+a×100+b×10+b=11×（a×100+b），因为a×100+b必须被11整除，所以a+b=11，代入上式得：11×（a×100+b）=11×11×（9a+1）．
只要9a+1是完全平方数就行了，由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证，得a=7一个解，则b=4．进而求出这个四位数．

解答： 解：四位数可以表示成：
a×1000+a×100+b×10+b，
=a×1100+b×11，
=11×（a×100+b）；

因为a×100+b必须被11整除，所以a+b=11，代入上式得：
四位数=11×[a×100+（11-a）]，
=11×（a×99+11），
=11×11×（9a+1）；

只要9a+1是完全平方数就行了．
由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得，
9a+1=19、28、27、46、55、64、73．
所以只有a=7一个解，则b=4．
因此四位数是7744=11²×8²=88×88．
答：这个四位数是7744．

点评：此题先设出这个四位数为a×1000+a×100+b×10+b，然后根据其特征，求出a的值，进而推出b的值，也就求出了这个四位数，解决问题．