Question

4．小学数学的简便计算中，分数简便运算是最复杂的一种，除了使用整、小数的一些常用技巧以外，还有利用裂项法（即将一个分数分成两个或几个分数的差或积，使部分分数互相抵消，从而达到简便运算的方法）找对应分数等重要方法．（1）观察下面的算式：
$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=$\frac{1}{110}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{110}$．
（2）比较上下两行算式的结果，你发现了什么？
（3）根据你的方向计算下面各题．
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{10×11}$；
②$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$．

Answer 1

分析 通过观察，发现将一个分数分成两个或几个分数的差或积，使部分分数互相抵消，从而达到简便运算的方法，运用这种方法，解决问题．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=$\frac{1}{110}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{110}$．

（2）发现：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，
即分子为1，分母为两个连续自然数的乘积的分数可拆为两个分数相减的形式．

（3）①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{10×11}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$

②$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$++$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$
=1-$\frac{1}{7}$
=$\frac{6}{7}$
故答案为：$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{110}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{110}$．

点评 此题中的分数形如$\frac{1}{n（n+1）}$，可拆分为$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．运用它可进行分数的拆分，使计算简便．