已知f（x）=alnx+

1

2

x²（a＞0），若对任意两个不等的正实数x₁，x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．（0，1]

B．（1，+∞）

C．（0，1）

D．[1，+∞）

已知f（x）=alnx+

1

2

x2，若对任意两个不等的正实数x₁，x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）

已知a＞0，b∈R，函数f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）令a=2，若经过点A（3，0）可以作三条不同的直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．

已知函数f₁（x）=

1

2

x²，f₂（x）=alnx（a∈R）•
（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f₁（x）•f₂（x）的极值；
（II）若存在x₀∈[1，e]，使得f₁（x₀）+f₂（x₀）≤（a+1）x₀成立，求实数a的取值范围；
（III）求证：当x＞0时，lnx+

3

4x2

-

1

ex

＞0．
（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）

已知a＞0，b∈R，函数f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）令a=2，若经过点A（3，0）可以作三条不同的直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．

已知函数f（x）=

1

2

x2-alnx(a＞0)
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．

已知函数f(x)=alnx+

1

2

x2-(1+a)x(x＞0)．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围；
（3）n∈N^*，求证：

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞

n

n+1

．

已知函数f(x)=alnx+

1

2

x2-(1+a)x(x＞0)，其中a为实数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞

n

m(m+n)

恒成立．