题目内容

已知f（x）=alnx+
1
2
x2，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）
分析：先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．
解答：解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0恒成立
则当x＞0时，f'（x）＞0恒成立
f'（x）=
a
x
+x＞0在（0，+∞）上恒成立
则a＞（-x2）max
而-x2＜0，则a≥0
故选A．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
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已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g(x)=
1x
+aln(x+1)-2a在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直，求g（x）的极大值．
已知f（x）=aln（x-1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）-g（x），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n；
（Ⅲ）当b=a-2时，若x1，x2是F（x）的两个极值点，当|x1-x2|＞1时，求证：|F（x1）-F（x）|＞3-4ln2．
已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x．
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围．
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．
已知函数 f（x）=x2+2lnx+aln（1+x2）．
（I）若a=-
92
求f（x）的极值；
（II）已知f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2
（i） 求a的取值范围
（ii）求证：f（x1）＜1-4ln2
（III） a=0时，求证[f'（x）]n-2n-1f'（xn）≥2n（2n-2）

已知f（x）=[3ln（x+2）-ln（x-2）]

    （Ⅰ）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；

（Ⅱ）设F（x）=aln（x-1）－f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围。

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